1 . 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.
(1)写出曲线的普通方程；
(2)设为曲线上的一点，将绕原点顺时针旋转得到.当运动时，设点的轨迹是，求曲线的直角坐标方程.

2 . 在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足
(1)求M的轨迹方程；
(2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程；

3 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.

4 . 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
(1)求的方程；
(2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)直线与的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为，求直线的方程.

6 . 已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.

7 . 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度.

8 . 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．
Ⅰ当时，求；
Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．

9 . 已知两点，直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P的斜率不为零且互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R（异于点P），求直线QR的斜率.

10 . 为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足．
(1)求点的轨迹方程；
(2)当四边形的面积最小时，求直线的方程．