1 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

2 . 已知：交轴于，两点，过以为长轴，离心率为的椭圆的左焦点的直线交椭圆于，，分别交轴和圆于，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，.求证：为定值；
（3）过原点作直线的垂线交直线于点.试探究：当点在圆上运动时（不与，重合），直线与圆是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，那么为定值吗？证明你的结论．

5 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.

6 . 已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线l与椭圆交于不同的两点，点关于x轴的对称点为，证明：当直线绕点旋转时，直线经过定点.

7 . 如图，椭圆与过点的直线只有一个公共点，且椭圆的离心率．

(1)求椭圆方程；
(2)设分别为椭圆的左、右焦点，求证：．

8 . 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线的方程；
(3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．

9 . 如图，椭圆与过点的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．

(1)求椭圆方程；
(2)设分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：．

10 . 已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点．
①若的面积为，求直线l的方程；
②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点．