1 . 已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

3 . 在直角坐标系中，椭圆的焦点分别为，经过且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知点是椭圆M上位于x轴上方的定点，E，F是椭圆M上的两个动点，直线与直线分别于x轴相交于G、H两点，且，求直线的斜率．

4 . 已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.

5 . 已知椭圆：，、是椭圆上的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线与椭圆交于、两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，已知椭圆，点是它的右端点，弦过椭圆的中心，，.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、为圆上不重合的两点，的平分线总是垂直于轴，且存在实数，使得，求的最大值.

7 . 已知椭圆的焦距为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.

8 . 如图，在直角坐标中，设椭圆：的左右两个焦点分别为，，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.

(1)求椭圆的方程；
(2)已知，，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．