1 . 已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）已知点,过点的直线交椭圆于两点,直线的斜率分别为,求证: 为定值.

2 . 已知椭圆的离心率为是椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.
证明：直线的斜率成等差数列.

3 . 已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且不与坐标轴垂直的直线交于点，，点是直线上的任意一点，证明：，，的斜率成等差数列.

4 . 已知椭圆，离心率，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上一点，左顶点为，上顶点为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

5 . 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得.

6 . 椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为．

(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．

7 . 已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

8 . 已知椭圆：过点，且两个焦点的坐标分别为，.
（1）求的方程；
（2）若，，为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求证：四边形的面积为定值.

9 . 已知椭圆（）的两个焦点，，点在此椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.

10 . 已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.