1 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点．
(1)求C的方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 已知椭圆：过点且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率的值；
（2）若为椭圆上异于顶点的任一点，、分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与轴交于点,直线与轴交于点，求证：为定值．

7 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别为椭圆的上、下顶点，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆的另一交点分别为，证明：直线过定点.

8 . 已知椭圆，离心率，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上一点，左顶点为A，上顶点为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

9 . 已知椭圆：过点，且两个焦点的坐标分别为，.
（1）求的方程；
（2）若，，为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求证：四边形的面积为定值.

10 . 已知椭圆（）的两个焦点，，点在此椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.