2023·全国·模拟预测
1 . 已知双曲线的中心在坐标原点
，左、右焦点分别为
，实半轴长为
，过右焦点
的直线
与其中一条渐近线垂直且垂足为
，
的面积为
．
(1)①
；
②以为圆心，
为直径的圆与直线
所截得的弦长为2；
③
．
从上面三个条件选择一个条件进行解答，当最大时，求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左、右顶点分别为
，在（1）的条件下，过点
的直线
与双曲线右支交于点
，过点
的直线
与双曲线左支交于点
，
，设
，
的面积分别为
，求
的值．
，左、右焦点分别为，实半轴长为，过右焦点的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为，的面积为．(1)①
；②以
为圆心，为直径的圆与直线所截得的弦长为2；③
．从上面三个条件选择一个条件进行解答，当
最大时，求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左、右顶点分别为
，在（1）的条件下，过点的直线与双曲线右支交于点，过点的直线与双曲线左支交于点，，设，的面积分别为，求的值．
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2 . 已知双曲线
的左顶点
，一条渐近线方程为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设双曲线的右顶点为
为直线
上的动点，连接
交双曲线于
两点（异于），记直线
与
轴的交点为
．
①求证：为定点；
②直线交直线于点，记
．求证：
为定值．
的左顶点，一条渐近线方程为．(1)求双曲线
的标准方程；(2)设双曲线
的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为．①求证：
为定点；②直线
交直线于点，记．求证：为定值．
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2023-11-09更新
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883次组卷
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3卷引用：江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题
江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题江苏省淮安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题03 圆锥曲线题型全归纳（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）
解题方法
3 . 已知双曲线
的离心率为2，右焦点
到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点
为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求
的面积的最小值．
的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点
为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．
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4 . 已知双曲线
的渐近线方程为
，且经过点
．
(1)求双曲线的方程；
(2)点在直线
上，
、
分别为双曲线的左、右顶点，直线
、
分别与双曲线交于
、
两点．求证：直线过定点．
的渐近线方程为，且经过点．(1)求双曲线
的方程；(2)点
在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点．求证：直线过定点．
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名校
5 . 定义：若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．已知双曲线
（a，b为常数）和其左右焦点，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形
与三角形
有相同的“等线”．则对于下列四个结论：
①
；
②等线必过多边形的重心；
③始终与
相切；
④的斜率为定值且与a，b有关．
其中所有正确结论的编号是（ ）
将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．已知双曲线（a，b为常数）和其左右焦点，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形与三角形有相同的“等线”．则对于下列四个结论：①
；②等线
必过多边形的重心；③
始终与相切；④
的斜率为定值且与a，b有关．其中所有正确结论的编号是（ ）
| A．①② | B．①④ | C．②③④ | D．①②③ |
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2023-08-25更新
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917次组卷
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4卷引用：四川省成都市第七中学（高新校区）2024届高三上学期入学考试数学（理科）试题
四川省成都市第七中学（高新校区）2024届高三上学期入学考试数学（理科）试题（已下线）考点20 常用的二级结论的应用 2024届高考数学考点总动员（已下线）第三章 圆锥曲线的方程（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3.2.2 双曲线的简单的几何性质（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）
6 . 已知分别为双曲线的左，右焦点，点
在上，且双曲线的渐近线与圆
相切．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为
的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足
，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切．(1)求双曲线
的方程；(2)若过点
且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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名校
解题方法
7 . 已知点
在双曲线
上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：
的面积是定值；
(2)已知点
，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足
，证明：点恒在一条定直线上．
在双曲线上．(1)双曲线上动点Q处的切线交
的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；(2)已知点
，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
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2023-05-17更新
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1082次组卷
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4卷引用：安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷（二）数学试题
安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷（二）数学试题（已下线）专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题突破卷23 圆锥曲线大题归类
8 . 已知点M为双曲线
右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线
互相垂直．
(1)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知C的左顶点A和右焦点F，直线
与直线
相交于点N．试问是否存在常数
，使得
？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．(1)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知C的左顶点A和右焦点F，直线
与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
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2023-04-21更新
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2354次组卷
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6卷引用：山东省聊城市2023届高三二模数学试题
山东省聊城市2023届高三二模数学试题（已下线）数学（新高考Ⅱ卷）（已下线）模块九 第3套 1单选 2多选 2填空 2解答题（解析几何 概率）（已下线）押新高考第21题 圆锥曲线专题20平面解析几何（解答题）福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三适应性联考数学试题
22-23高三下·上海浦东新·阶段练习
名校
解题方法
9 . 已知坐标平面
上左、右焦点为
，
的双曲线
和圆
．
(1)若
的实轴恰为
的一条直径，求的方程；
(2)若的一条渐近线为
，且与恰有两个公共点，求a的值；
(3)设
，若存在上的点
，使得直线
与恰有一个公共点，求的离心率的取值范围．
上左、右焦点为，的双曲线和圆．(1)若
的实轴恰为的一条直径，求的方程；(2)若
的一条渐近线为，且与恰有两个公共点，求a的值；(3)设
，若存在上的点，使得直线与恰有一个公共点，求的离心率的取值范围．
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名校
解题方法
10 . 已知双曲线经过点
，两条渐近线的夹角为
.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若双曲线的焦点在轴上，点为双曲线上两个动点，直线
的斜率
满足
，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
经过点，两条渐近线的夹角为.(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若双曲线
的焦点在轴上，点为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
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