1 . 已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率．
(1)若，求的渐近线方程；
(2)过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

2 . 已知直线l：为双曲线C：的一条渐近线，且双曲线C经过点.

(1)求双曲线C的方程；
(2)设A，B是双曲线右支上两点，若直线l上存在点P，使得为正三角形，求直线AB的斜率的取值范围.

3 . 已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________.

4 . 我们把一组焦点相同的双曲线称为“同焦双曲线”.已知双曲线与双曲线为“同焦双曲线”，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（       ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．若直线与双曲线有且仅有1个交点，则

C．的最小值为12

D．记的内切圆面积为的内切圆面积为，则

5 . 已知双曲线为右焦点.
(1)求双曲线的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；
(2)当时，设过点的直线与双曲线交于点，且的面积为，求直线的斜率.

6 . 已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求椭圆的方程；
(2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

7 . 已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率为1，求线段的中点坐标；
(3)点、在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①在上；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.

9 . 已知双曲线过点，且的渐近线方程为．

(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．