1 . 已知点为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.

2 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.

3 . 已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．

4 . 已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.

5 . 已知抛物线的焦点为，双曲线的斜率大于的渐近线为，过点作直线，交抛物线于、两点，且．

(1)求抛物线的方程；
(2)若直线，且与抛物线相切于点，求的值．

6 . 双曲线C：（，）的一条渐近线l的倾斜角为，过左、右焦点，分别作l的垂线，两垂足间的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（1，0）且斜率不为0的直线与双曲线C交于M，N两点，记N关于x轴的对称点为Q，证明直线MQ过x轴上的定点．

7 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线：的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．

(1)求双曲线的方程；
(2)如图，过圆：上一点作圆的切线与双曲线的左右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．

8 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线.
(1)写出过双曲线C的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；
(2)设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若，求过M点的坐标；
(3)设斜率为的直线交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：.

9 . 在平面直角坐标系中，对于直线和点，，记，若，则称点，被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点，被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．
（1）求证：点，被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．