1 . 已知双曲线：的左、右焦点分别为、．
(1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程：
(2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值；
(3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围．

3 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线分别交于点，当时，双曲线的离心率是__________.

5 . 已知双曲线的离心率为．
(1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
(2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
(3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．

6 . 双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度；
(3)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

8 . 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求的取值范围.

9 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

10 . 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．