1 . 在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.
(1)求的方程.
(2)已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．

3 . 如图平面直角坐标系中，一直角三角形，，在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12.若一双曲线以为焦点，且经过两点.

(1)求双曲线的方程；
(2)若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.

5 . 已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；
(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.