1 . 已知双曲线的焦距为，点在上．
(1)求的方程；
(2)，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为，，若直线、互相垂直，求周长的最大值．

2 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．

3 . 如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．

(1)求E的方程．
(2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：．

4 . 已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

5 . 已知双曲线过点和点．

(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．

6 . 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.

7 . 已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.

8 . 已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．

9 . 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点、在双曲线的左、右两支上，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，的面积为.
①是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
②已知圆的面积为，求.

10 . 已知、分别为双曲线的上、下焦点，其中坐标为点是双曲线上的一个点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线与上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上.