1 . 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点（不与重合），且满足，的斜率之积为.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值．若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

2 . 已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）
(1)求双曲线的方程；
(2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.

3 . 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．
(1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
(2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

4 . 已知双曲线的方程是
（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程;
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小

5 . 已知双曲线与椭圆有公共的焦点,且离心率为,求双曲线的方程及其渐近线方程.

6 . 设双曲线的两个焦点分别为，，离心率为2．
（1）求此双曲线的渐近线、的方程；
（2）若、分别为、上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

7 . 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.