1 . 已知双曲线的左右焦点分别为，渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作双曲线的切线与轴交于点，试判断与的大小关系，并给予证明．

2 . 已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.

3 . 已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.

4 . 已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1．
(1)求的方程；
(2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程．

6 . 已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知双曲线的左顶点为，点在渐近线上，过点的直线交双曲线的右支于两点，直线分别交直线于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：为的中点.

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.

9 . 已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求C的标准方程；
(2)若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，问：直线AM与直线BN的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．