1 . 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.

2 . 已知抛物线上横坐标的点到其焦点的距离为，在轴上截距为2的直线与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．
(1)求抛物线方程和准线方程；
(2)若，求直线的方程．

4 . 如图所示，为圆上的动点，为抛物线上的动点，试求的最小值．
   

5 . 已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.

(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.

6 . 设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.

7 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线的交点分别为，．

(1)求；
(2)求双曲线的实轴长．

8 . 动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．

9 . 在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与到直线的距离相等.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设不经过原点的直线与点的轨迹相交于A，B两点，___________.
①若直线经过点，则；②若，则直线经过定点.
在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.
（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）

10 . 已知抛物线的焦点为 A ，以为圆心，长为半径画圆，在 x 轴上方交抛物线于 M、N 不同的两点，点 P 是 MN 的中点．求：
(1)的取值范围；
(2)的值．