1 . 已知直线与抛物线交于两点，线段的中点为，点为的焦点，且（为坐标原点）的面积为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线与交于两点，直线,分别交直线于两点，求的最大值.

2 . 以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是____．

3 . 已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点.
（Ⅰ）求抛物线和椭圆的方程；
（Ⅱ）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值.

4 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心，直线与抛物线的准线和轴分别交于点、，且、的纵坐标分别为、．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与圆相切．

5 . 在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求的方程；
（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由..

6 . 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为____．

7 . 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

8 . 如图，设双曲线的上焦点为，上顶点为，点为双曲线虚轴的左端点，已知的离心率为，且的面积.

（1）求双曲线的方程；
（2）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，动直线与相切于点，与的准线相交于点，试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆:的离心率为，且与轴的正半轴的交点为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的右焦点.
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；
(2)过的两条相互垂直直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值.

10 . 已知抛物线的顶点在原点，为抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，且位于线段上，若，求直线的方程.