1 . 已知抛物线：上的点到焦点的距离为.
(1)求点的坐标及抛物线的方程；
(2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

2 . 在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．

3 . 已知，是抛物线：（）上不同的两点，点在抛物线的准线上，且焦点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线过焦点，且直线过原点，求证：直线平行轴．

4 . 已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.

5 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.
（i）求证：点在一条定直线上；
（ii）求面积的取值范围.

6 . 已知抛物线与双曲线有相同的焦点.
（1）求的方程，并求其准线的方程；
（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，证明：，均为定值.

7 . 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F．

（1）求C的方程，并求其准线l的方程；
（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点，，直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：为定值，且四边形AMNB为梯形．

8 . 已知在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程是.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，证明：以为直径的圆过原点.

9 . 已知点为抛物线 的焦点，点在抛物线 上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长 交抛物线于点 ，证明：以点为圆心且与直线 相切的圆，必与直线相切．