1 . 已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：
(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.

2 . 已知抛物线的焦点为，点，点在上，且是以为顶点的等腰三角形，其周长为10.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与交于A，两点，点与A，不共线，判断是否存在实数，使得直线，与直线交于点，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．

4 . 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

5 . 抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在x轴上方），点E为坐标轴上F右侧的一点，已知，，若点N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为________．

6 . 已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是______．

7 . 已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线AB与抛物线C交于A，B两点，且直线PA，PB关于直线对称，当时，求直线AB的方程.

8 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，是直角三角形．
(1)求抛物线的方程．
(2)若点在第一象限，直线与抛物线交于异于点的两点，以线段为直径的圆经过点．直线是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由．

10 . 已知抛物线的焦点为，是该抛物线上的一个动点，为坐标原点，当点的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于两点，当的面积是时，求点的坐标.