1 . 已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，直线分别与直线，交于点M，N，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.

2 . 已知点在抛物线：上，、为抛物线上的两个动点，不垂直于轴，为焦点，且.
(1)求的值，并证明的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中的定点为，求面积的最大值.

3 . 已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．

5 . 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.
(1)①求C的方程；
②若M点在第一象限且，求；
(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为，，t为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①P点坐标为； ②；③直线AB经过点.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

6 . 设抛物线C：（p>0），其焦点为F，准线为l，点P为C上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q为C外的一点且Q点不在坐标轴上，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，过点Q作y轴的垂线，垂足为S，连接AS，BS，证明：直线AS与直线BS关于y轴对称．

7 . 已知P(1，2)在抛物线C：y²＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

8 . 已知抛物线C；过点．
   
求抛物线C的方程；
过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．