1 . 已知抛物线的焦点F，点在抛物线C上.
(1)求；
(2)过点M向x轴作垂线，垂足为N，过点N的直线l与抛物线C交于A，B两点，证明：（O为坐标原点）.

2 . 已知抛物线过点．
(1)求抛物线C的焦点到准线的距离．
(2)已知点，过点的直线l交抛物线C于点M、N，直线分别交直线于点P、Q，求的值．

3 . 已知抛物线上的三点，B，C，直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为____________．

4 . 设m为实数，已知F为抛物线的焦点，是抛物线上一点，O为坐标原点，且．
(1)求m的值；
(2)过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长．

5 . 已知为抛物线：的焦点，直线与抛物线交于两点且．

(1)求抛物线的方程；
(2)直线：交抛物线于两点，点与点关于轴对称，直线与直线交于点，与直线交于点（为坐标原点），求证：．

6 . 已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．

7 . 已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，直线分别与直线，交于点M，N，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.

8 . 已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为______.

9 . 已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．

(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．

10 . 已知抛物线：（）的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于、两点，过原点垂直于的直线与抛物线的准线相交于点．设、的面积分别为、，求的最大值．