1 . 已知椭圆，圆．
(1)点是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
(2)椭圆的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴．

2 . 如图所示，平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，分别为的中点，两点满足：，其中为非零实数．直线与交于点．已知椭圆过三点．

(1)求椭圆的标准方程及其焦距；
(2)判断点与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)设为椭圆上两点，满足，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

3 . 已知椭圆：（）．
(1)若椭圆的焦距为6，求的值；
(2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值．

4 . 若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为________．

5 . 如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．

(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
(2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．

6 . 如图，分别是矩形四边的中点，，.

(1)求直线与直线交点的轨迹方程；
(2)过点任作直线与点的轨迹交于两点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，求面积的最小值.

7 . 如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

8 . 中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆，其长轴长度约为，短轴长度约为．若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且，则点到底面的距离是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．

(1)求证：点R为线段的中点；
(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．