1 . 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：，A₁，A₂分别为椭圆C₁的左，右顶点．椭圆C₂以线段A₁A₂为短轴且与椭圆C₁为“相似椭圆”．

(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆C₂上异于A₁，A₂的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C₁于点H．求证：

2 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，M为中点，求直线OM斜率．

3 . 已知直线与椭圆相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k的值为___________.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为4，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．

6 . 已知椭圆：的离心率为，左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值.

7 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若，且直线l与圆相切于点N，求△OMN的面积．

8 . 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线交曲线于，两点．
（1）求曲线与曲线的直角坐标方程；
（2）试判断曲线与曲线公共点的个数．

9 . 已知椭圆的焦距为，且长轴长与短轴长之比为.
（1）求椭圆方程；
（2）若不与坐标轴平行的直线与椭圆相切于点，为坐标原点，求直线与直线的斜率之积.

10 . 已知椭圆的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点，ABF的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．