1 . 平面内动点与两定点连线的斜率之积等于，若点的轨迹为曲线，过点作斜率不为零的直线交曲线于点．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求面积的最大值．

2 . 已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），且，求直线的斜率的值.

3 . 已知椭圆过和两点．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形面积的最大值．

4 . 已知点,,动点,满足直线与直线的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)设经过点且不经过点的直线与曲线相交于M,N两点,求证:为定值.

5 . 已知直线与直线垂直，其纵截距为，椭圆C的两个焦点为，且与直线相切.
(1)求直线和椭圆C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形面积的最大值与最小值.

6 . 如图，椭圆（）的离心率为，其短轴和长轴的端点分别为A，B，C，D，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线，与直线l：分别交于G、H两点.若，求点P的坐标；
(3)直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足且.若面积是面积的5倍，求t的值.

7 . 已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上．
(1)若为上顶点，，求的值；
(2)若，原点到直线的距离为，求直线的方程；
(3)对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆,过动点的直线交轴于点,交椭圆于点,(点在第一象限),且是线段的中点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,延长交椭圆于点．点在椭圆上．

(1)求椭圆的焦距;
(2)设直线的斜率为,直线的斜率为,证明：为定值;
(3)求直线斜率的最小值．

9 . 已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点．
①若的面积为，求直线l的方程；
②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点．

10 . 如图，P为椭圆上的动点，过P作椭圆的切线交圆于M，N，过M，N作切线交于Q，则Q的轨迹方程为_______________；的最大值为_________________．