1 . 已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率；
(3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.

3 . 已知，为椭圆（）的左、右焦点，过的直线与相交于，两点，且的最大值为.特别地，当垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)当与轴不重合时，直线与直线交于点，若直线恒过轴上的定点，求的面积的最大值.

4 . 已知是椭圆C：上的动点，过原点O向圆M：引两条切线，分别与椭圆C交于P，Q两点（如图所示），记直线OP，OQ的斜率依次为，，且．

(1)求圆M的半径r；
(2)求证：为定值；
(3)求四边形OPMQ的面积的最大值．

5 . 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（       ）

A．点的轨迹方程是

B．直线是“最远距离直线”

C．点的轨迹与圆没有交点

D．平面上有一点，则的最小值为

6 . 已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，，且，点满足.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且点在点的左侧，点关于轴的对称点为，直线分别与直线交于两点，求面积的最小值.

7 . 已知椭圆，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，．
(1)求C的离心率e；
(2)已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）．
（ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值；
（ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为，求椭圆C的方程．

8 . 在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程.
(1)试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程；
(2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值.

9 . 法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是（       ）

A．椭圆的离心率为

B．面积的最大值为

C．到的左焦点的距离的最小值为

D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则

10 . 已知点在离心率为的椭圆上，点为椭圆上异于点的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，过点两点分别作椭圆的切线，这两条切线的交点为，求的最小值．