1 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

2 . 在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.

（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标.

3 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为

（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ的面积的最大值
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.

4 . 已知椭圆（）的一个短轴顶点，直线与椭圆交于、两点.
（1）若点与椭圆的两个焦点构成等腰直角三角形，求椭圆方程；
（2）设为椭圆上的动点，若总有，求的取值范围；
（3）若，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.

5 . 椭圆与双曲线有公共的焦点，则______.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．

7 . 已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于两点（点，不在坐标轴上）；证明：直线，，的斜率依次成等比数列.
（3）设直线与椭圆交于两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.

8 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与交于另一点N，过原点的直线l与交于P，Q两点
（1）求周长的最小值：
（2）是否存在这样的直线，使得与直线平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.
（3）直线l与线段相交，且四边形的面积，求直线l的斜率k的取值范围.

9 . 已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且，求的值；
（3）当△面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.

10 . 已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心，动直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值；
（3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围．