1 . 已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点P是椭圆C上的点，面积的最大值是2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．

2 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，为椭圆上不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线相切？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.

4 . 设是椭圆的四个顶点，菱形的面积与其内切圆面积分别为，.椭圆的内接的重心(三条中线的交点)为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

5 . 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.

7 . 设椭圆C：，分别为左、右焦点， 为短轴的一个端点，且，椭圆上的点到左焦点的距离的最小值为，为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点M，N，且满足？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆E：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，且｜AB|=1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P、Q是椭圆E上两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ,其中O是坐标原点.
当P、Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．

10 . 已知焦点在轴上的椭圆（），焦距为，长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点.
①证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值；
②求的最小值.