1 . 已知椭圆.

（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；
（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离之比是常数，记的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)过且不与轴重合的直线，与轨迹交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，在轨迹上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于不同的两点，设线段的中点为．

（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为（其中为坐标原点）且时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点，使得当直线运动时，为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，直线，与椭圆： 分别交于、两点，且.

（1）证明：为定值；
（2）点满足，直线与椭圆交于点，设，求的值.

5 . 如图“月亮图”是由曲线与构成，曲线 是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是两条曲线的一个交点，，．

（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于四点，若为的中点、为的中点，问：是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由．

6 . 已知定点，，定直线：，动点与点的距离是它到直线的距离的.设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、与直线分别相交于、两点.
（1）求的方程；
（2）以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

7 . 已知焦点在轴上的椭圆（），焦距为，长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点.
①证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值；
②求的最小值.

8 . 在平面直角坐标系中，椭圆过点和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点在椭圆上，为椭圆的左焦点，直线的方程为.
（i）求证：直线与椭圆有唯一的公共点；
（ii）若点关于直线的对称点为，探索：当点在椭圆上运动时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

9 . 设椭圆的离心率,左顶点到直线的距离,为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,若以为直径的圆经过坐标原点,证明:点到直线的距离为定值；
（III）在（Ⅱ）的条件下,试求的面积的最小值.

10 . 已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.