1 . 设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．

2 . 已知椭圆（）的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点．
①求证：；
②求证：为定值．

3 . 已知圆：，点是圆上的动点，点是圆内一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)为直线：上的动点，、为曲线与轴的左右交点，、分别与曲线交于、两点.证明：为定值.

4 . 已知椭圆的焦距为2，经过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)椭圆的左顶点为，过其右焦点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值.

5 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设，为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且．求证：直线恒过一定点．

6 . 在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线，垂足为D，点Q满足．当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与y轴正半轴交点为A，不过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，若，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

7 . 已知动点到点的距离和到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，过点的直线和曲线交于、两点，直线、、分别交直线于、、．
（i）证明：恰为线段的中点；
（ii）是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在，求出定点的坐标，否则说明理由．

8 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.

9 . 已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.