1 . 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点.
(1)求双曲线的方程和焦距；
(2)若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积.

2 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________.

3 . 已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.

4 . 已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，．
(1)的标准方程；
(2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

5 . 双曲线的左、右焦点分别为，，，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，，且与同向，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

6 . 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点P是C的右支上异于顶点的一点，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则的面积为

B．记直线与直线的斜率分别为，，则

C．若，则

D．延长交C的右支于点Q，设与的内切圆半径分别为，，则

7 . 已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为_____________．

8 . 已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
(1)求双曲线C：方程；
(2)设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.