2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径
为6，且与
轴交于点
．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点
处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线
与交于
，
两点，交
轴于点
，交轴于点
（点不与的顶点重合）．若
，
，试求出点所有可能的坐标．
为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
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23-24高三下·云南昆明·阶段练习
名校
解题方法
2 . 平面上一动点
满足
．
(1)求P点轨迹
的方程；
(2)已知
，
，延长PA交于点Q，求实数m使得
恒成立，并证明：
为定值
满足．(1)求P点轨迹
的方程；(2)已知
，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值
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2024高三·全国·专题练习
3 . 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆
，双曲线
是椭圆
的“姊妺”圆锥曲线，
分别为
的离心率，且
，点
分别为椭圆的左､右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点
的动直线交双曲线右支于
两点，若直线
的斜率分别为
.
（i）试探究
与
的比值
是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求
的取值范围.
，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线
的方程；(2)设过点
的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究
与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求
的取值范围.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 已知直线l：x＝
.若在x轴上存在一定点M，使得双曲线
－y2＝1上任意一点P，都有点P到l的距离与PM的比值为常数，则点M的坐标为（ ）
| A．(－2，0) | B．(2，0) |
| C．(±2，0) | D．(0，±2) |
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5 . 已知双曲线C：
的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率是－2，那么直线PA1的斜率是（ ）
A．－ | B．－ | C．－1 | D．－ |
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 在平面直角坐标系中，已知点F1(－
，0)，F2(，0)，点M满足MF1－MF2＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝
上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB＝TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
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7 . 已知
，
分别为有心二次曲线
的左、右焦点，
为曲线上任意一点，直线
，
分别交曲线
于点（异于点），设
，
，求证：
为定值．
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2024·山东淄博·一模
8 . 在平面直角坐标系xOy中，点.
点
是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 
相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点
，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作
，垂足为 H，求
的最大值.
点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;
(2)设点
，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值.
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2024高三下·江苏·专题练习
解题方法
9 . （多选）已知双曲线
（
，
），
，
是其左、右顶点，
，
是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A． |
B．直线的斜率之积等于定值 |
C．使得 为等腰三角形的点有且仅有8个 |
D．的面积为 |
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2024高三下·江苏·专题练习
解题方法
10 . 已知双曲线：
的一条渐近线为
，椭圆：
的长轴长为4，其中
.过点
的动直线
交于A，B两点，过点Р的动直线
交于M，N两点，若四条直线
的斜率之和为定值，则定点Q为
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