1 . 设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

2 . 设分别为椭圆的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

4 . 已知两定点，，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于，两点.如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积.

5 . 已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

6 . 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

7 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知双曲线的两条渐近线分别为，.
   
(1)求双曲线的离心率；
(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由.

9 . 如图，已知双曲线的右焦点为,点分别在的两条渐近线上，轴， ,(为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在上移动时，恒为定值，并求此定值.

10 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（2）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．