1 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.

2 . 已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.

3 . 已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点．

4 . 已知双曲线：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.
(1)当的方程为时，求的值；
(2)设，求证：为定值.

6 . 已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.
   
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

7 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，过点作轴的垂线，交轴于点，交双曲线于另一点，连结交双曲线于点，求证：.