1 . 已知双曲线
：
（
，
）的右顶点
，斜率为1的直线交于
、
两点，且
中点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：
为直角三角形；
(3)若过曲线上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为
，
，且分别在第一象限和第四象限，若
，
，求
面积的取值范围.
：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.(1)求双曲线
的方程；(2)证明：
为直角三角形；(3)若过曲线
上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
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2024-03-01更新
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2318次组卷
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4卷引用：东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题
2 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中
是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线
（，）的左右焦点分别为
，
，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．
当
，
，且直线
的倾斜角为
时，求反射光线
所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且
三点共线，经双曲线反射后过点，
，
，延长
，
分别交两条渐近线于
，点是
的中点，求证：
为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点
，当四边形
的面积为8时，求的方程．
是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．
当
，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；(2)从
处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．(3)在（2）的条件下，延长
交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
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名校
解题方法
3 . 已知双曲线
的虚轴长为
，点
在上.设直线
与交于
两点（异于点），直线
与
的斜率之积为
.
(1)求的方程.
(2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点.
(3)求直线斜率的取值范围.
的虚轴长为，点在上.设直线与交于两点（异于点），直线与的斜率之积为.(1)求
的方程.(2)证明：直线
的斜率存在，且直线过定点.(3)求直线
斜率的取值范围.
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4 . 已知点P为双曲线
上任意一点，过点的切线交双曲线
的渐近线于两点．
(1)证明：恰为
的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断
PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．(1)证明：
恰为的中点；(2)过点
分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
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解题方法
5 . 已知双曲线：
的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，
的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线斜率存在且不为0时，连接
，
分别交直线
于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：
.
：的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，的面积为9.(1)求C的方程；
(2)当直线
斜率存在且不为0时，连接，分别交直线于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：.
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线
：（，）的右焦点为
，的渐近线与抛物线
：
（
）相交于点
．
(1)求，的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得
．
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）过作
，垂足为．是否存在定点，使得
为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点．(1)求
，的方程；(2)设
是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得．（ⅰ）求证：直线
过定点；（ⅱ）过
作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
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2023-05-08更新
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1024次组卷
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10卷引用：辽宁省朝阳市第一高级中学2023届高三模拟（二）数学试题
辽宁省朝阳市第一高级中学2023届高三模拟（二）数学试题辽宁省五校（鞍山一中、大连二十四中等）2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题广东省东莞实验中学2023届高三高考热身数学试题重庆市第八中学校2023届高三上学期适应性月考（三）数学试题（已下线）2023届高三押题卷二（测试范围：高考全部内容）安徽省六校教育研究会2023届高三下学期入学素质测试数学试题湖南省衡阳市衡南县2022-2023学年高二上学期期末数学试题湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第四次月考数学试题湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题
解题方法
7 . 设双曲线
的焦距为6，点
在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知的右焦点为
是直线
上一点，直线
交双曲线于两点（A在第一象限），过点作直线
的平行线
与直线
交于点，与
轴交于点
，证明：为线段
的中点．
的焦距为6，点在双曲线上．(1)求双曲线
的方程；(2)已知
的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（A在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点．
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名校
解题方法
8 . 已知双曲线的左、右顶点分别为
，右焦点为
，点P为C上一动点（异于两点），直线
和直线
与直线
分别交于M，N两点，当
垂直于x轴时，
的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：
为定值，并求出该定值．
的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．(1)求C的方程；
(2)求证：
为定值，并求出该定值．
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2022-10-28更新
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1452次组卷
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4卷引用：辽宁省沈阳市二十中学2022-2023学年高三上学期三模考试数学试题
名校
解题方法
9 . 已知双曲线上的所有点构成集合
和集合
，坐标平面内任意点
，直线
称为点关于双曲线的“相关直线”．
(1)若
，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
(2)若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：
；
(3)若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：
．
上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．(1)若
，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；(2)若直线
与双曲线的一支有2个交点，求证：；(3)若点
，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
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2023-04-13更新
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2536次组卷
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8卷引用：辽宁省大连市2023届高三一模数学试题
辽宁省大连市2023届高三一模数学试题东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题吉林省长春市2023届高三三模数学试题安徽省安庆市桐城中学2023届高三下学期第二次模拟数学试卷云南省曲靖市第二中学2023届高三二模预测数学试题河南省安阳市2024届高三第三次模拟考试数学试题（已下线）专题15 圆锥曲线综合（已下线）压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-4
10 . 已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为
.
(1)求C的方程；
(2)若C上有两点P，Q满足
，证明：
是定值.
.(1)求C的方程；
(2)若C上有两点P，Q满足
，证明：是定值.
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2023-03-26更新
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819次组卷
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6卷引用：辽宁省辽阳市2023届高考一模数学试题
