1 . 已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.

2 . 设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

3 . 点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

4 . 已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．

6 . 已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

7 . 已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知双曲线．
(1)求证：双曲线上任意点到两条渐近线的距离之积为定值；
(2)求直线2x－y＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．

9 . 已知双曲线C：的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，求双曲线C的焦距.

10 . 设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.