1 . 设抛物线
，过焦点
的直线与抛物线
交于点
、
．当直线
垂直于
轴时，
．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点
，直线
、
分别与抛物线交于点
、
.
①求证：直线
过定点；
②求
与
面积之和的最小值．
，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．(1)求抛物线
的标准方程．(2)已知点
，直线、分别与抛物线交于点、.①求证：直线
过定点；②求
与面积之和的最小值．
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2024-02-28更新
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1019次组卷
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4卷引用：上海市宝山区吴淞中学2024届高三下学期3月月考数学试题
2 . 已知抛物线
，顶点为
，过焦点的直线交抛物线于
，
两点．
(1)如图1所示，已知
|，求线段中点到
轴的距离；
(2)设点
是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形
面积的最小值；
(3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线
，
交抛物线于
，
两点，过作直线
，
交抛物线于，
两点，且
，
，设线段MN与线段
的交点为
，求直线
斜率的取值范围．
，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点． (1)如图1所示，已知
|，求线段中点到轴的距离；(2)设点
是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；(3)如图2所示，设
为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围．
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2024-02-28更新
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863次组卷
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9卷引用：上海市建平中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市建平中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第三章 圆锥曲线的方程（压轴必刷30题7种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3.3.1 抛物线及其标准方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题（二）上海市宝山中学2023-2024学年高二上学期期终考试数学试题（已下线）第2章 圆锥曲线 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）2.4.2 抛物线的性质(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧江西省抚州市临川第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
3 . 设抛物线
的焦点为F，点
，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，
.
(1)①求C的方程；
②若M点在第一象限且
，求
；
(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为
，
，t为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①P点坐标为
； ②
；③直线AB经过点
.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）
的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.(1)①求C的方程；
②若M点在第一象限且
，求；(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为
，，t为非零的常数.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①P点坐标为
； ②；③直线AB经过点.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）
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4 . 设抛物线的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，且
，Q为抛物线上一点，过Q作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除Q之外的M、N两点.
(1)求C的方程；
(2)若Q坐标为
，且
，判断MN斜率是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由.
的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，且，Q为抛物线上一点，过Q作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除Q之外的M、N两点.(1)求C的方程；
(2)若Q坐标为
，且，判断MN斜率是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由.
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2023-01-15更新
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451次组卷
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5卷引用：2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(五)理科数学试题（全国卷）
解题方法
5 . 已知抛物线
的焦点为．
(1)如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线
与抛物线交于
两点，请问
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(2)过焦点作直线
与交于
两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点
，求证：直线
､
、
的斜率成等差数列．
的焦点为．(1)如图所示，线段
为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)过焦点
作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．
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2023-01-10更新
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1194次组卷
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4卷引用：山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题
山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题（已下线）专题3 解答题题型山西省运城市2022-2023学年高三上学期期末调研测试数学试题（已下线）安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模理科数学试题变式题16-20
6 . 直线过抛物线
的焦点，且与抛物线交于
，
不同的两点，点在抛物线的准线上，且
//轴.
(1)证明：
；
(2)判断直线
是否经过坐标原点，并说明理由.
过抛物线的焦点，且与抛物线交于，不同的两点，点在抛物线的准线上，且//轴.(1)证明：
；(2)判断直线
是否经过坐标原点，并说明理由.
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解题方法
7 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为
，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
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8 . 已知抛物线
的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为
的等边三角形，过
的直线交抛物线E于A，B两点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)是否存在常数
，使得
，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
(3)证明：
内切圆的面积小于
．
的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点．(1)求抛物线E的方程；
(2)是否存在常数
，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；(3)证明：
内切圆的面积小于．
您最近一年使用：0次
2022-02-13更新
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433次组卷
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3卷引用：山东省菏泽市2021-2022学年高二上学期期末数学试题
9 . 设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．
(1)若
，求的方程．
(2)以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，且
．
的焦点为，过的直线与交于，两点．(1)若
，求的方程．(2)以
，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，且．
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2021-11-21更新
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553次组卷
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3卷引用：金太阳 2021-2022学期高二上学期期中考试数学试题
10 . 如图所示，已知抛物线
的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.
(1)当直线AB的斜率为1时，求弦长
的长；
(2)已知
为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率
，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得
，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.(1)当直线AB的斜率为1时，求弦长
的长；(2)已知
为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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