1 . 抛物线的焦点是的顶点,过点的直线的斜率分别是且,直线与交于，直线与交于

（1）求抛物线的方程,并证明：分别是的中点，且直线过定点
（2）①求面积的最小值
②设面积分别为，求证：

2 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.
(1)求证：；
(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.

4 . 如图，已知点是焦点为的抛物线：（）上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为（）．

(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点到直线的距离，求的最大值．

5 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)当的内切圆半径时，求的取值范围．

6 . 已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．

7 . 已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.

8 . 曲线，第一象限内点在上，的纵坐标为.
(1)若到准线距离为3，求；
(2)设为坐标原点，，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为4.证明：直线过定点；
(3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于，是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围.

9 . 已知抛物线，过作互相垂直的两条直线，与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点，线段的中点分别为．
(1)证明：直线过定点；
(2)若线段的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．

10 . 已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.
(1)证明：；
(2)设，当时，求的面积的最小值.