1 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．

(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．

2 . 已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上.
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)设直线与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：直线过定点，并求出这个定点的坐标.

3 . 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

5 . 抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求定圆方程

6 . 已知抛物线C：，点，直线l过点M且与抛物线C交于A，B两点．
(1)若P为抛物线C上的一个动点，当线段MP的长度取最小值时，P点恰好在抛物线C的顶点处，求a的取值范围；
(2)当a为定值时，在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称？若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．

7 . 已知抛物线的焦点为是抛物线上的任意一点.当轴时，的面积为4（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于两点，且直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.

8 . 已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

10 . 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.