1 . 已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别于y轴交于M，N两点，且，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C，D两点．
(1)当时，求的大小；
(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；
(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．

4 . 已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．

5 . 抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求的准线方程；
(2)若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，试探究直线MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.

6 . 抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求的准线方程；
(2)若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，当点到直线的距离最大值时，求点的坐标．

7 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

8 . 已知动圆M经过点，且动圆M被y轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点M的横坐标为，A，B为圆M与曲线C的公共点，若直线AB的斜率，且，求的值．

9 . 已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.

10 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．