2 . 已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.
(1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；
(2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.

3 . 在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点．

4 . 过抛物线上的点作直线交拋物线于另一点.

(1)设的准线与轴的交点为，若，求;
(2)过的焦点作直线交于两点，为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，证明: 以线段为直径的圆经过轴上的两个定点.

5 . 抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点．

6 . 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究在轴上是否存在异于的定点，使得轴为的角平分线，若存在，请求出点坐标； 若不存在，请说明理由.

7 . 已知平面上的动点到定点的距离比到直线的距离小1．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，在轴上是否存在定点，使得变化时，直线与的斜率之和是0，若存在，求出定点的坐标，若不存在，写出理由．

8 . 已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点A，B，直线AB与x轴相交于N，试探究x轴上是否存在异于N的定点M满足恒成立.若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.

10 . 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设经过点的直线与曲线相交于、两点，经过点的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.