1 . 椭圆C：的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点A（2，3）且倾斜角为的直线l与椭圆交于M，N两点，求|MN|．

2 . 已知P为椭圆E:上任意一点，F₁，F₂为左、右焦点，M为PF₁中点.如图所示:若，离心率.

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值.

3 . 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.

4 . 如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．

（1）已知直线的斜率为，用，，表示点的坐标；
（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．

5 . 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求证：．

6 . 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．

7 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．