1 . 已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点．
(1)当直线与轴垂直时，求直线的方程；
(2)求的取值范围．

2 . 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.

3 . 已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.
（Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程；
（Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值.

4 . 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.
（Ⅰ）求椭圆的方程；       
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

5 . 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.
（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.

6 . 已知椭圆：的离心率为，一个焦点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，若点都在以点为圆心的圆上，求的值．

7 . 椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．