1 . 已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
（2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值 .

2 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.

3 . 已知动点到定点和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于、两点，直线：与曲线交于、两点，与相交于一点（交点位于线段上，且与、不重合）.
（1）求曲线的方程；
（2）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.

4 . 已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.

5 . 已知是抛物线的焦点，关于轴的对称点为，曲线上任意一点满足；直线和直线的斜率之积为.
（1）求曲线的方程；
（2）过且斜率为正数的直线与抛物线交于两点，其中点在轴上方，与曲线交于点，若的面积为的面积为，当时，求直线的方程.

6 . 椭圆的左焦点为，短轴长为，右顶点为，上顶点为，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于另一个点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.

7 . 已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.

8 . 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点，两点，连接，求的面积的最大值．

9 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，，是椭圆上异于长轴端点的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.

10 . 在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F₁（﹣1，0），离心率．
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；
②求四边形 的面积 的最大值．