1 . 如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点（、在同一象限内），称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的“伴随点”为．
   
(1)求椭圆及其“伴随圆”的方程；
(2)求的最大值，并求此时“伴随点”的坐标；

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于A、B两点．
(1)求的短轴长及的周长；
(2)若直线l过点，求弦长；
(3)若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆（），、是其左右焦点，点、分别是椭圆的上、下顶点，点是椭圆上异于、的一点.

(1)若△为等边三角形，求椭圆的焦距；
(2)若，点在直线上，且，求△的面积；
(3)若，过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点），直线与直线交于点，求的值.

4 . 已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于A、B两点，与线段交于点C（异于P、Q）．
(1)当且时，求直线的方程；
(2)当时，求四边形面积的取值范围；
(3)记直线、、、的斜率依次为、、、，当且线段的中点M在直线上时，计算的值，并证明：．

5 . 已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
(1)若直线垂直于轴，求；
(2)当时，在轴上方时，求、的坐标；
(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

6 . 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

7 . 已知椭圆的焦点分别为，，点P在椭圆上，若，则三角形的面积为________________．

8 . 设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.

（1）若，求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.
（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.

9 . 椭圆的一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则__．