1 . 如图，已知半圆C₁：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C₂：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C₁、C₂构成的曲线，记为“Γ”．
   
(1)求实数a、b的值；
(2)直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
(3)设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值．

2 . 如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6．

(1)求椭圆G的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
(3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围．

3 . 已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；
(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．

4 . 已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．

5 . 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

(1)设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程；
(2)如图1，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值；
(3)如图2，由抛物线弧：与第（1）小题椭圆弧：所合成的封闭曲线为“盾圆”，设“盾圆”上的两点、关于轴对称，为坐标原点，试求的面积的最大值．

6 . 如图，已知椭圆的一个焦点坐标为，且与轴正半轴分别交于两点，其中的面积为，圆与相切，是椭圆上的动点，以为圆心的圆的半径与圆的半径相同.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作圆的两条切线，分别与圆切于点，射线分别与椭圆交于两点，当的斜率都存在时，
①求证：为定值；
②设的面积为的面积为，求的取值范围.

7 . 已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于A、B两点，与线段交于点C（异于P、Q）．
(1)当且时，求直线的方程；
(2)当时，求四边形面积的取值范围；
(3)记直线、、、的斜率依次为、、、，当且线段的中点M在直线上时，计算的值，并证明：．

8 . 已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.

(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；
(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；
(3)设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点，△的周长为6.

（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最大值；
（3）设点在椭圆上，记△与△的面积分别为、，且，若满足条件的点恰有3个，求实数的值.