1 . 已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

2 . 已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆上一点的切线方程为．设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点F，使得以PQ为直径的圆恒过点F？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆C：，椭圆C上任意一点M到椭圆左、右焦点的距离之和为，且的最小值为.
(1)求椭圆方程；
(2)已知坐标原点为O，过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点.椭圆C上是否存在点P，使得当l绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 设椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．

9 . 已知点P与定点的距离和它到定直线的距离比是．
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．

10 . 设椭圆的离心率，焦距为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的动直线交椭圆于两点，为直线上的一点，是否存在直线与点P，使得恰好为等边三角形，若存在求出的面积，若不存在说明理由．