1 . 已知椭圆C：（a>b>0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左右顶点分别为A、B，当P不与A、B重合时，直线AP， BP分别交直线x=4于点M、N，证明：以MN为直径的圆过右焦点F ．

2 . 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，长轴长为4，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知x轴上存在一点E（点E在椭圆左顶点的左侧），过的直线与椭圆C交于点和点，且与互为补角，求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点的动直线l与椭圆E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．

4 . 已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹过定点.

5 . 已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切.
(1)求动圆圆心E的轨迹方程；
(2)过点的直线与动圆圆心E的轨迹相交于A，B两点，在平面直角坐标系xOy中，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且______．
①两焦点与短轴一个端点的连线构成等腰直角三角形；②离心率；③的周长为．从上述三个条件中选择一个作为条件，将题目补充完整，并回答以下两个问题．（注：若选择多个条件作答，仅按第一种选择给分）
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，试问：是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆过定点Q？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆C：的右顶点为A，O为坐标原点，且椭圆C的离心率为，P，Q为椭圆上两点，当QO＝QA时，的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点P任作倾斜角互补的两条直线，，分别与椭圆C交于M，N两点，是否存在点P，使得AP⊥MN恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．

8 . 已知直线x＝my－1经过椭圆C：的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（       ）

A．椭圆C的短轴长为

B．弦的最小值为3

C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点

D．若，则

9 . 已知椭圆的短轴长为，是上一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切．

10 . 焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．
(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．