1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

2 . 已知点在椭圆C：上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，证明：存在常数λ，使得k₁=λk₂，并求出λ的值.

3 . 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．试问k₁+k₂ 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

4 . 已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点和点，为坐标原点．证明：为定值．

5 . 已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，是否存在定点Q对于任意的都有GQ是定值?若存在，求出点Q;若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

7 . 如图，椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

8 . 椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，为椭圆上异于，的两个不同的点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：直线的斜率为定值．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，是椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）作斜率为的直线与交于两点，且点在直线的左上方. 证明：的内切圆圆心在直线上.