1 . 已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题：
（i）求弦长；
（ii）求证：.

3 . 已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为
(1)证明：为定值:
(2)若，求的面积．

4 . 已知抛物线经过点，经过点的直线与抛物线交两点，过两点作抛物线的切线相交于点，为线段（两点除外）上一动点，直线与抛物线交两点.
(1)若的的面积为，求直线方程；
(2)求证：.

5 . 如图，直线与抛物线相交于A，B两点．

   

(1)求证：；
(2)求．

6 . 已知点是抛物线的焦点，点在上，且.
(1)求的方程；
(2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且.
①求证：为定值；
②求四边形面积的最小值.

7 . 已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.

(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：；
(3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.

8 . 已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.

(1)求抛物线的标准方程，并证明；
(2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.

9 . 已知抛物线：.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.

10 . 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.
(1)若直线的斜率为，求线段的长；
(2)求证：直线平行于抛物线的对称轴.