1 . 设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与交于不重合的两点，且，直线和的斜率分别为和.求证：为定值.

2 . 已知抛物线的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为时，，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：直线是的外角平分线．

3 . 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，

(1)当时，求直线l的方程；
(2)求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．

4 . 设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点，过F的直线交C于 两点，连接 ，与C的另一个交点分别为 ，记直线的斜率分别为．求证：为定值．

5 . 已知抛物线C：（）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于点M，N，点Q为的中点，轴交C于点R，且，证明：动点T在定直线上.

6 . 已知抛物线的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证：
（1）；
（2）为定值；
（3）以为直径的圆与抛物线的准线相切．

7 . 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于两点.
（1）以为直径的圆与轴交两点，若，求；
（2）点在上，过点且垂直于轴的直线与分别相交于两点，证明：.

8 . 已知动圆过点且与直线相切.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，线段的中点为.
①求证：；
②记四边形，的面积分别为，，若，求.

9 . 已知，是曲线上任意一点，动点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交于，两点，过原点与点的直线交直线于点，求证：.

10 . 在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.