1 . 已知抛物线
，过点
与
轴不垂直的直线
与
交于
两点．
(1)求证：
是定值（
是坐标原点）；
(2)
的垂直平分线与轴交于
，求
的取值范围；
(3)设
关于轴的对称点为
，求证：直线
过定点，并求出定点的坐标．
，过点与轴不垂直的直线与交于两点．(1)求证：
是定值（是坐标原点）；(2)
的垂直平分线与轴交于，求的取值范围；(3)设
关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
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2 . 设抛物线
，过焦点
的直线与抛物线
交于点
、
．当直线垂直于轴时，
．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点
，直线
、
分别与抛物线交于点、.
①求证：直线
过定点；
②求
与
面积之和的最小值．
，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．(1)求抛物线
的标准方程．(2)已知点
，直线、分别与抛物线交于点、.①求证：直线
过定点；②求
与面积之和的最小值．
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2024-02-28更新
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1068次组卷
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4卷引用：上海市宝山区吴淞中学2024届高三下学期3月月考数学试题
解题方法
3 . 已知三条直线
（
）分别与抛物线
交于点
、
，
为轴上一定点，且
，记点
到直线
的距离为
，△
的面积为
．
(1)若直线
的倾斜角为
，且过抛物线的焦点，求直线的方程；
(2)若
，且
，证明：直线
过定点；
(3)当
时，是否存在点，使得
，
，
成等比数列，
，
，
也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．(1)若直线
的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；(2)若
，且，证明：直线过定点；(3)当
时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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4 . 设抛物线 
的焦点为 ，点 
在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 
. 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 
相交于点 
. 求证：
(1)直线
经过点 ;
(2)
的外接圆过定点.
的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证：(1)直线
经过点 ;(2)
的外接圆过定点.
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5 . 已知点
在抛物线的准线上，过点
作直线与抛物线交于
两点，斜率为2的直线与抛物线交于
两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)① 求证：直线
过定点
；
② 若
的面积为
，且满足
，求直线斜率的取值范围．
在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于两点，斜率为2的直线与抛物线交于两点．(1)求抛物线
的标准方程；(2)① 求证：直线
过定点；② 若
的面积为，且满足，求直线斜率的取值范围．
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2024-01-27更新
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261次组卷
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3卷引用：2.4.2 抛物线的性质(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）2.4.2 抛物线的性质(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题江苏省徐州市沛县第二中学2024届高三下学期期初测试数学试题
6 . 已知抛物线
，
为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．
(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线
与
斜率乘积为
．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求
的最小值．
，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线
与斜率乘积为．（i）证明：直线
过定点；（ii）求
的最小值．
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2023-09-06更新
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1122次组卷
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8卷引用：第2章 圆锥曲线（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）第2章 圆锥曲线（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）山东省临沂市2023-2024学年高三上学期开学摸底联考数学试题广东省佛山市S7高质量发展联盟2024届高三上学期10月联考数学试题（已下线）考点18 解析几何中的范围、最值问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题08 抛物线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第三章 圆锥曲线的方程（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3．3．2 抛物线的几何性质（2）（已下线）专题27 抛物线的简单几何性质7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
名校
解题方法
7 . 已知椭圆
，以椭圆
的右焦点为焦点的抛物线
的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作拋物线的两条切线、，其中、
为切点，设直线、的斜率分别为
、
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)计算
的值；
(3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作拋物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、．(1)求抛物线
的标准方程及其准线方程；(2)计算
的值；(3)求证：直线
过定点，并求出这个定点的坐标；
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名校
解题方法
8 . 设F为抛物线
的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.
(1)若
，求此时直线l的方程；
(2)若与直线l垂直的直线过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点；
(3)设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为，
，若
的面积是△STF的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.
的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.(1)若
，求此时直线l的方程；(2)若与直线l垂直的直线
过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点；(3)设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为
，，若的面积是△STF的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.
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9 . 已知点是抛物线
的焦点，动点在抛物线上，设直线与抛物线交于D､E两点（P､D､E均不重合）.
(1)若经过点
，求
点坐标；
(2)若
，证明：直线
过定点；
(3)若
且
，四边形
面积为
，求直线的方程.
是抛物线的焦点，动点在抛物线上，设直线与抛物线交于D､E两点（P､D､E均不重合）.(1)若
经过点，求点坐标；(2)若
，证明：直线过定点；(3)若
且，四边形面积为，求直线的方程.
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10 . 在平面直角坐标系
中，原点为，抛物线的方程为
，线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求
，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、
，与抛物线交于、
两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段
、的中点，求
面积的最小值．
中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．（1）求抛物线
的准线方程；（2）求
，求证：直线恒过定点；（3）过抛物线的焦点
作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．
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2021-08-14更新
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996次组卷
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3卷引用：上海市浦东新区2020-2021学年高二下学期期中数学试题
上海市浦东新区2020-2021学年高二下学期期中数学试题广东省普宁市第二中学2022届高三上学期第一次月考数学试题（已下线）专题03 圆锥曲线面积问题-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）
