1 . 已知点
在抛物线
的准线上，过点
作直线
与抛物线
交于
两点，斜率为2的直线与抛物线交于
两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)① 求证：直线
过定点
；
② 若
的面积为
，且满足
，求直线斜率的取值范围．
在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于两点，斜率为2的直线与抛物线交于两点．(1)求抛物线
的标准方程；(2)① 求证：直线
过定点；② 若
的面积为，且满足，求直线斜率的取值范围．
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2024-01-27更新
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316次组卷
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3卷引用：湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题江苏省徐州市沛县第二中学2024届高三下学期期初测试数学试题（已下线）2.4.2 抛物线的性质(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
2 . 已知抛物线
，其焦点为
．
(1)
两点为抛物线
上的动点且满足
，直线
不垂直于
轴，求证：线段的垂直平分线过定点
，并求出点的坐标；
(2)已知椭圆
，圆
，过（1）中点作斜率分别为
的直线
，且满足
，直线
交椭圆
于
两点，直线
交圆于
两点，点
为
中点，求
面积的取值范围．
，其焦点为．(1)
两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标；(2)已知椭圆
，圆，过（1）中点作斜率分别为的直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围．
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名校
解题方法
3 . 在平面直角坐标系
中，已知圆心为C的动圆过点
，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知
及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为
，
，且
，求证：直线BD经过定点．
中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；
(2)已知
及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
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2023-09-06更新
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818次组卷
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5卷引用：湖北省随州市曾都区第一中学2024届高三上学期摸底测试数学试题
湖北省随州市曾都区第一中学2024届高三上学期摸底测试数学试题广东省东莞市众美中学2024届高三上学期10月检测数学试题（已下线）重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）（已下线）专题27 抛物线的简单几何性质7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（已下线）专题10 解析几何中的定点问题（一）【讲】（压轴大全）
4 . 已知平面内一动圆过点
，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)梯形
的四个顶点均在曲线上，
，对角线
与
交于点
.
（i）求直线的斜率；
（ii）证明：直线
与交于定点.
，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)梯形
的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点.（i）求直线
的斜率；（ii）证明：直线
与交于定点.
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名校
解题方法
5 . 在直角坐标系中，设
为抛物线
（
）的焦点，为上位于第一象限内一点.当
时，
的面积为1.
(1)求的方程；
(2)当
时，如果直线与抛物线交于
，
两点，直线
，
的斜率满足
.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.(1)求
的方程；(2)当
时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
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2024-03-27更新
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1334次组卷
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6卷引用：湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题
6 . 如图，A，B是抛物线
上两点，满足
（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M.
(2)设
是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点.
上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M.
(2)设
是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点.
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7 . 设抛物线E：
的焦点为F，从点F发出的光线经过E上的点
不同于E的顶点
反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称为抛物线的光学性质．过E上的动点A向准线l作垂线，垂足为B，过点A的直线m与E相切，设m交l于点C，连接CF，FB，FB交AC于点D，则以下结论正确的是（ ）
的焦点为F，从点F发出的光线经过E上的点不同于E的顶点反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称为抛物线的光学性质．过E上的动点A向准线l作垂线，垂足为B，过点A的直线m与E相切，设m交l于点C，连接CF，FB，FB交AC于点D，则以下结论正确的是（ ）A．m平分 | B． |
C． 与 的面积之比为定值 | D．点D在定直线上 |
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8 . 已知抛物线C：
，焦点为F，点
，
，过点M作抛物线的切线MP，切点为P，
，又过M作直线交抛物线于不同的两点A，B，直线AN交抛物线于另一点D．
(1)求抛物线方程；
(2)求证BD过定点．
，焦点为F，点，，过点M作抛物线的切线MP，切点为P，，又过M作直线交抛物线于不同的两点A，B，直线AN交抛物线于另一点D．(1)求抛物线方程；
(2)求证BD过定点．
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9 . 已知过点
的直线交抛物线
于A，B两点，且
（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点
，直线NP过定点
.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)证明：直线MN过定点.
的直线交抛物线于A，B两点，且（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点，直线NP过定点.(1)求该抛物线的标准方程；
(2)证明：直线MN过定点.
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10 . 已知点
为抛物线
上的点，，为抛物线
上的两个动点，
为抛物线的准线与
轴的交点，为抛物线的焦点．
(1)若
，求证：直线恒过定点；
(2)若直线过点，，在轴下方，点在，之间，且
，求
的面积和
的面积之比．
为抛物线上的点，，为抛物线上的两个动点，为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线的焦点．(1)若
，求证：直线恒过定点；(2)若直线
过点，，在轴下方，点在，之间，且，求的面积和的面积之比．
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2023-03-31更新
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1832次组卷
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4卷引用：湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题
